C:Optical Experiment
LCS(Longest Common Subsequences)最长公共子序列用一般的动态规划时间复杂度O(N^2), 但经过优化可以达到O(NlogN),下面是转载集训队某人的最长递增子序列解题报告。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设 F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方 程：F[i] = max{F[i], F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < i
(2)A[x] < A[y] < A[i]
(3)F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的 最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。PS：k长上升子序列最小的值,以便获得更长的上升子序列
注意到D[]的两个特点：
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D [len]。若 A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序 列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] & lt; A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序 列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。
PS：搞的时候可以初始化D[]数组值为0.
/*读者的code*/
#include <iostream>
using namespace std;
/*
功能:
求最长子序列 nlogn 算法
a[] 表示输入序列 n 序列长度 序列下标1开始 flag:LIS_UP 严格上升 LIS_NOTDOWN 非下降
call: printf("%d\n",LIS_UP(a,n,LIS_UP)); 严格上升
call;printf("%d\n",LIS_UP(a,n,LIS_NOTDOWN));非下降
*/
typedef int ElementType;
#define LIS_UP 0 //严格上升
#define LIS_NOTDOWN 1 //非下降
int LIS(ElementType *a,int n,int flag)
{
int i;
ElementType *d = new ElementType[n+1];
for (i=0;i<=n;i++)d[i]=0;
int len=1;
d[1]=a[1];
for (i=2;i<=n;i++)
{
int l=0,h=len;
if(flag==LIS_NOTDOWN)
{
if (d[len]<=a[i])
{
d[++len]=a[i];
continue;
}
}
/*
二分查找取d数组中小于a[i]并且下标最大的值，返回下标l
*/
d[l]=a[i];
if (l>len)len++;
}
delete[] d;
return len;
}
最长公共子序列向最长递增子序列退化：
设有序列A，B。记序列A中各个元素在B中的位子(降序排列)，然后按在A中的位置依次列出然后求A的最长递增子序列。
PS：
A串位置 1 2 3 4
A串: 4 3 5 2
B串: 2 5 4 3
B串位置： 1 2 3 4
A串在B串--位置 3 4 2 1 因为B串已经顺序了，只要求出这行的最长递增子序列 就是最长公共子序列的长度了。
例如：有A={a,b,a,c,x}，B={b,a,a,b,c,a}则有a={6,3,2},b={4,1},c={5};x=/;（注意降序排列）
然后按A中次序排出{a(6,3,2),b(4,1),a(6,3,2),c(5),x()}={6,3,2,4,1,6,3,2,5}；对此序列求最长递增子序列即可
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